PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Nama : Gathan Darmawan (13) 

Kelas : XI IPS 3 


PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL 


Garis Singgung 

Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung. 
 
Garis Normal
 
Garis normal merupakan garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus dengan garis singgung. 

Garis Singgung & Garis Normal 

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah 

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Garis Singgung KurvaPersamaan garis singgung kurva y = f(x) yang disinggung oleh sebuah garis di titik (x1,y1), maka gradien garis singgung tersebut adalah m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

 

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva 

Soal No.1

Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan

Titik singgung dititik (2, 8), maka x1 = 2 
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1) 
m = 10x1 – 8 
m = 10(2) – 8 
m = 12 



Soal No.2

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x2 + 2x di titik (1,3) 

Pembahasan

f(x) = x2 + 2x 
f'(x) = 2x + 2 
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4 
m = 4 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 4(x − 1) 
y − 3 = 4x − 4 
y = 4x − 1 



Soal No.3

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x - 3x2 di titik dengan absis 2 

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2: 
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2 
y = 2x - 3x2  
y = 2(2) − 3(2)2 
y = −8 
Jadi titik singgung : (2, −8)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x2  
f '(x) = 2 − 6x 
m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10 
m = −10 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah : 
y – y1 = m(x – x1)
y − (−8) = −10(x − 2) 
y + 8 = −10x + 20 
y = −10x + 12 



Soal No.4

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x3 - 4x2 di titik berabsis 2 

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2: 
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2 
y = 2x3 - 4x2  
y = 2(2)3 − 4(2)2 
y = 16 - 16 
y = 0 
Jadi titik singgung : (2, 0)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x3 - 4x2  
f '(x) = 6x2 - 8x 
m = f '(2) = 6(2)2 − 8(2) 
m = 24 - 16 
m = 8 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah : 
y – y1 = m(x – x1)
y − 0 = 8(x − 2) 
y = 8x - 16 



Soal No.5

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik berabsis -2 

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x = -2: 

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2 
y = x2  
y = (-2)2 
y = 4
Jadi titik singgung : (-2, 4)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x2  
f '(x) = 2x
m = f '(-2) = 2(-2)
m = -4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah : 
y – y1 = m(x – x1)
y − 4 = -4(x − (-2)) 
y - 4 = -4x - 8 
y = -4x - 4 



Soal No.6

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x - x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3 

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m1
y = 3 + 2x - x2 
m1 = f'(x) = -2x + 2 
m1 = -2x + 2 

Langkah 2 : Cari nilai m2
4x + y = 3 
y = -4x + 3 
m2 = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah 3 : Cari nilai x 
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m1 = m2 
-2x + 2 = -4  
-2x = -6 
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x2 
y = 3 + 2(3) - 32 
y = 3 + 6 - 9 
y = 0 

Sekarang kita telah memiliki titik singgung (3,0)

Langkah 4: Persamaan garis singgung 
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = -4(x - 3)
y = -4x + 12



Soal No.7

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Pembahasan

Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 18 

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 18 
y = x3 + 10 
18 = x3 + 10 
x3 = 18 - 10 
x3 = 8 
x = 2 
Jadi titik singgung : (2,18)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x3 + 10 
f'(x) = 3x2 
m = f'(2) = 3(2)2 
m = 12 

Jadi,Persamaan garis singgungnya adalah y – y1 = m(x – x1)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16



Soal No.8

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - x + 3 di titik yang berordinat 5 ?

Pembahasan

Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 5 

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 5 
y = x2 - x + 3 
5 = x2 - x + 3 
x2 - x + 3 - 5 = 0 
x2 - x - 2 = 0 
(x - 2)(x + 1) = 0 
x = 2 atau x = -1 
Jadi terdapat dua titik singgung : (2,5) atau (-1,5)

Langkah 2: Cari nilai gradien
Nilai gradien untuk x = 2
f(x) = x2 - x + 3 
f'(x) = 2x - 1 
m = f'(2) = 2(2) - 1 
m = 3

Nilai gradien untuk x = -1
f(x) = x2 - x + 3 
f'(x) = 2x - 1 
m = f'(-1) = 2(-1) - 1 
m = -3 

Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung 
Karena kita memiliki dua titik singgung, tentunya akan ada dua persamaan garis singgung 

Persamaan garis singgungnya untuk titik (2,5) dengan m = 3 
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = 3(x - 2) 
y = 3x - 6 + 5 
y = 3x - 1 

Persamaan garis singgungnya untuk titik (-1,5) dengan m = -3 
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = -3(x - (-1))
y - 5 = -3x - 3 
y = -3x + 2 

Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2



Soal No.9

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya 
f(x) = x2 - 5x + 6 
f'(x) = 2x - 5 
m = f'(x) 
3 = 2x - 5 
2x = 3 + 5 
x = 4 

y = x2 - 5x + 6 
y = 42 - 5(4) + 6 
y = 16 - 20 + 6 
y = 2 

Jadi titik singgung : (4,2)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung 
y – y1 = m(x – x1)
y - 2 = 3(x - 4)
y - 2 = 3x - 12 
y = 3x - 10 



Soal No.10

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3- 3x2 - 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4 ? 

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya f(x) = x3 - 3x2 - 5x + 10 
f'(x) = 3x2 - 6x - 5 
m = f'(x) 
4 = 3x2 - 6x - 5 
3x2 - 6x - 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x2 - 2x - 3 = 0 
(x - 3)(x + 2) = 0 
x = 3 atau x = -2 

Untuk x = 3 
y = x3 - 3x2 - 5x + 10 
y = 33 - 3(3)2 - 5(3) + 10 
y = 27 -27 - 15 + 10 
y = -5 
Titik singgung pertama (3,-5)

Untuk x = -2 
y = x3 - 3x2 - 5x + 10 
y = (-2)3 - 3(-2)2 - 5(-2) + 10 
y = -8 - 12 + 10 + 10 
y = 0 
Titik singgung kedua (-2,0)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung 
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y1 = m(x – x1)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12 
y = 4x -17 

Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8 

Jadi ada dua persamaan garis singgung yaitu :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Soal No.11
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 - x2 yang tegak lurus terhadap garis 4y = x + 1 ? 

Pembahasan
Langkah 1 : Cari nilai m1 
y = 3 - x2 
m1 = f'(x) = -2x 
m1 = -2x 

Langkah 2 : Cari nilai m2 
4y = x + 1 
y = 
1 4
x + 
1 4

m2 = 
1 4
(Ingat !! Jika y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah 3 : Cari nilai x 
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m1 . m2 = -1 
m1 . 
1 4
= -1 
m1 = -4 

Masukkan nilai m1 ke dalam persamaan langkah-1 :
m1 = -2x 
-4 = -2x 
x = 2 

Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 - x2 
y = 3 - 22 
y = 3 - 4 
y = -1 
Jadi titik singgungnya : (2,-1)

Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung 
y - y1 = m(x - x1) 
y - (-1) = -4(x - 2) 
y + 1 = -4x + 8 
y = -4x + 7 

Jadi persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7


Soal No.12
Persamaan garis menyinggung kurva y = x2 - 3x - 4 di titik (4,0) adalah .....
a. y = 5x + 20 
b. y = 5x - 20 
c. y = -5x + 20 
d. y = -5x - 20 

Pembahasan
y = x2 - 3x - 4 
y' = 2x - 3 
m = y '(4) = 2(4) - 3 = 5 
m = 5 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = 5 (x - 4) 
y = 5x - 20 

Jawab c:


Soal No.13
Tentukan gradien garis dengan persamaan berikut :
1.) y = 2x - 8 
2.) 4x - 2y + 6 = 0 
3.) 3y = 6x - 1 
4.) 7x - 14y + 2 = 0 

Pembahasan
1.) Untuk Persamaan : y = 2x - 8 
Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a 
y = 2x - 8  
m = 2

2.) Untuk Persamaan : 4x - 2y + 6 = 0 
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b 
4x - 2y + 6 = 0 
m = -4 -2 
m = -(-2) 
m = 2 

3.) Untuk Persamaan : 3y = 6x - 1 
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b 
3y = 6x - 1 
6x - 3y - 1 = 0 
m = -6 -3 
m = -(-2) 
m = 2 

4.) Untuk Persamaan : 7x - 14y + 2 = 0 
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b 
7x - 14y + 2 = 0 
m = -7 -14 
m = -1 -2 
m =1 2
 

Contoh Soal menentukan persamaan garis singgung dan garis normal

Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab : 

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20  y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

Persamaan Garis singgung 

m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8) 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 

y - y1 = m(x - x1)
y - 8 = 4(x - 2)
y - 8 = 4x - 8
y = 4x  Persamaan garis singgung

Persamaan garis normal 

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien  melalui A(2,8) 

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah 


DAFTAR PUSTAKA 

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu3.html

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Gambar
Nama : Gathan Darmawan (13)  Kelas : XI IPS 3  NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Fungsi naik ,  fungsi turun , dan  fungsi diam (stasioner)  merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut. Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda positif, atau  f ′ ( x ) > 0 f ′ ( x ) > 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik). Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda negatif, atau  f ′ ( x ) < 0 f ′ ( x ) < 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun). Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda netral, atau  f ′ ( x ) = 0 f ′ ( x ) = 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam). Kondisi suatu fungsi  y = f ( x ) y = f ( x )  dalam keadaan naik, turun, atau diam Diberikan fungsi  y = f ( x ) y = f ( x )  d...
Baca selengkapnya

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Gambar
Nama : Gathan Darmawan (13)  Kelas : XI IPS 3  CONTOH SOAL PILIHAN GANDA DAN PEMBAHASANNYA YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA Pengertian Pengertian Integral Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi  kebalikan  atau biasa juga disebut sebagai  invers  dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian di atas, terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Antara lain: integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai   Integral Tak Tentu . Serta yang kedua, integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai   integral tentu . Pengertian  Integral Tak Tentu Integral tak tentu atau yang dalam bahasa Inggris biasa disebut sebagai  Indefinite Integral  maupun ada ju...
Baca selengkapnya