INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Nama : Gathan Darmawan (13) 

Kelas : XI IPS 3 

CONTOH SOAL PILIHAN GANDA DAN PEMBAHASANNYA YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA

Pengertian

Pengertian Integral

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Berdasarkan pengertian di atas, terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral.

Antara lain: integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai Integral Tak Tentu.

Serta yang kedua, integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai integral tentu.

Pengertian Integral Tak Tentu

Integral tak tentu atau yang dalam bahasa Inggris biasa disebut sebagai Indefinite Integral maupun ada juga yang menyebutnya sebagai Antiderivatif merupakan sebuah bentuk operasi pengintegralan pada suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru.

Fungsi ini belum mempunyai nilai pasti sampai cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tidak tentu ini disebut sebagai integral tak tentu.

Apabila f berwujud integral tak tentu dari sebuah fungsi F maka F’= f.

Proses memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang berhubungan dengan integral lewat “Teorema dasar kalkulus”. Serta memberi cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Integral Tak Tentu

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, integral tak tentu dalam matematika merupakan invers/kebalikan dari turunan.

Turunan dari sebuah fungsi, apabila diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri.

Mari perthatikan baik-baik contoh dari beberapa turunan dalam fungsi aljabar di bawah ini:

• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
• Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2

Seperti yang telah kita pelajari pada materi turunan, variabel dalam sebuah fungsi akan mengalami penurunan pangkat.

Berdasarkan contoh di atas, maka dapat kita ketahui jika terdapat banyak fungsi yang mempunyai hasil turunan yang sama yakni yI = 3x2.

Fungsi dari variabel x3 maupun fungsi dari variabel x3 yang dikurang atau ditambah pada sebuah bilangan (contohnya: +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.

Apabila turunan itu kita integralkan, maka harusnya akan menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan.

Tetapi, dalam kasus yang tidak diketahui fungsi awal dari sebuah turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut bisa kita tulis menjadi:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C dapat berapa pun. Notasi C ini juga disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari sebuah fungsi dinotasikan seperti berikut:

Dalam notasi di atas dapat kita baca integral terhadap x”. notasi  disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) merupakan penjumlahan F(x) dengan C atau:

Sebab integral dan juga turunan saling berkaitan, maka rumus integral bisa didapatkan dari rumusan penurunan. Apabila turunan:

Maka rumus integral aljabar didapatkan:

dengan syarat apabila n ≠ 1

Sebagai contoh perhatikan beberapa integral aljabar fungsi-fungsi berikut ini:

Sifat Integral

Sifat-sifat dari integral antara lain:

• ∫ k . f(x)dx = k. ∫ f(x)dx                         (dengan k adalah konstanta)
• ∫ f(x) + g(x)dx = ∫ (x)dx + ∫ g(x)dx
• ∫ f(x) – g(x)dx = ∫ f(x)dx – ∫ g(x)dx

Beberapa sifat di bawah ini dimisalkan k merupakan bilangan real, f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat diketahui integralnya. Sehingga secara matematis sifat-sifat integral fungsi aljabar yaitu:

Selain itu juga integral fungsi terdiri dari beberapa sifat fungsi trigonometri yang dapat dinyatakan dengan persamaan di bawah ini:

Contoh Soal Integral Tak Tentu

1. Tentukan hasil dari ʃ 3x2 dx !

Pembahasan

Jadi, hasil dari ʃ 3x2 dx adalah x3 + C.

2. Carilah hasil integral tak tentu dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx.

Pembahasan

Jadi hasil dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx adalah 2x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + C.

3. Tentukan nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx !

Pembahasan

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C

Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.

4. Carilah nilai dari ʃ (3x-2)(x+6) dx

Pembahasan

(3x-2)(x+6) = 3x2 + 18x – 2x -12 = 3x2 + 16x -12

Jadi, hasil dari ʃ (3x-2)(x+6) dx adalah x3 + 8x2 – 12x + C.

5. Hitunglah nilai dari ʃ dx/(3x2) !

Pembahasan

ʃ dx/(3x2) =  ʃ ⅓ x–2  dx

Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x2) adalah – 1/(3x) + C.

6. Carilah nilai dari ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx!

Pembahasan

Ingat!

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx = (-5) ( -cos x) + 3 (sin x) – 4 + C

ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx = 5 cos x + 3 sin x – 4 + C

Jadi, nilai dari ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx adalah 5 cos x + 3 sin x – 4 + C.

7. Tentukan nilai dari ʃ (4x+3)7 dx

Pembahasan

Jadi nilai dari ʃ (4x+3)7 dx adalah 1/32  (4x+3)8 + C

DAFTAR PUSTAKA 

https://www.yuksinau.id/integral-tak-tentu/ 

https://www.seputarpengetahuan.co.id/2020/05/integral-tak-tentu.html#:~:text=Integral%20tak%20tentu%20 

https://rumuspintar.com/integral/contoh-soal/ 

https://www.kompas.com/skola/read/2020/11/25/144501369/sifat-sifat-pada-integral-tak-tentu