NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Nama : Gathan Darmawan (13) 

Kelas : XI IPS 3 

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

1. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda positif, atau $f^{\prime }\left(x\right)>0$, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).
2. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda negatif, atau $f^{\prime }\left(x\right)<0$, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).
3. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda netral, atau $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$ dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap $x$ di dalam interval $I$.

1. Jika $f^{\prime }\left(x\right)>0$, maka kurva $f\left(x\right)$ akan selalu naik pada interval $I$.
2. Jika $f^{\prime }\left(x\right)<0$, maka kurva $f\left(x\right)$ akan selalu turun pada interval $I$.
3. Jika $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva $f\left(x\right)$ stasioner (tetap/diam) pada interval $I$.
4. Jika $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah turun pada interval $I$.
5. Jika $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah naik pada interval $I$.

Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi $f\left(x\right)$ berikut.

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik $a$ dan $b$ disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi $f\left(x\right)$ naik saat $x<a$ atau $x>b$, sedangkan $f\left(x\right)$turun pada saat $a<x<b$.

Soal Nomor 1
Interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau $x>3$

Pembahasan : 

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$, sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah $1<x<3$
(Jawaban C)

Soal Nomor 2
Grafik fungsi $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$ tidak pernah turun dalam interval $\cdots \cdot$
A. $x\le -2$ atau $x\ge 6$
B. $x\le 2$ atau $x\ge 6$
C. $x<2$ atau $x\ge 6$
D. $x\le 2$ atau $x>6$
E. $x<2$ atau $x>6$

Pembahasan : 

Diketahui $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$. Turunan pertama $p\left(x\right)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =x(6-x{)}^2\\ & =x(36-12x+x^2)\\ & =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }\left(x\right)& =36-24x+3x^2\end{array}$
Grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.
$\begin{array}{cc}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $x\le 2\text{atau}x\ge 6$
(Jawaban B)

Soal Nomor 3
Nilai-nilai $x$ dari fungsi $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ yang mengakibatkan kurva fungsi itu selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-1$ atau $x>3$
B. $-1<x<3$
C. $x<1$ atau $x>3$
D. $-1<x<1$ atau $1<x<3$
E. $-1<x<1$ atau $x>3$

Pembahasan : 

Diketahui $y=\frac{x^2+3}{x-1}$. Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan $u=x^2+3\Rightarrow u^{\prime }=2x$ dan $v=x-1\Rightarrow v^{\prime }=1$, sehingga
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & =\frac{2x(x-1)-(x^2+3)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{2x^2-2x-x^2-3)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}\end{array}$
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat $y^{\prime }<0$, yaitu
$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}<0$.
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk $x\ne 1$, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
$\begin{array}{cc}(x-3)(x+1)& <0\\ \therefore -1<x& <3\end{array}$
Karena $x\ne 1$ (berakibat penyebut bernilai $0$), maka kita peroleh bahwa interval $x$ yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara $-1$ dan $3$, kecuali $1$, kita tulis
$-1<x<1\text{atau}1<x<3$
(Jawaban D)

Soal Nomor 4
Grafik fungsi $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$ akan selalu naik dalam interval $0<x<2$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $\frac{1}{3}$                 E. $3$
B. $-\frac{1}{3}$                    D. $1$

Pembahasan : 

Diketahui $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$ dan $f\left(x\right)$ selalu naik di $0<x<2$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x-0)(x-2)& <0& & \\ x(x-2)& <0& & \\ x^2-2x& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2x$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cccc}3a{x}^2+2x& >0& & \\ \text{Kedua ruas dikali}& \text{dengan}-1& & \\ -3a{x}^2-2x& <0& & (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-2x& <0\\ -3a{x}^2-2x& <0\end{array}$
Diperoleh $-3a=1\Rightarrow a=-\frac{1}{3}$
Jadi, Nilai $a$ yang membuat $f\left(x\right)$ selalu naik pada interval tersebut adalah $-\frac{1}{3}$ 
(Jawaban B)

Soal Nomor 5
Grafik fungsi $T\left(x\right)=2x^3+3a{x}^2-4bx+5$ akan selalu turun dalam interval $-4<x<1$. Nilai $\frac{b}{a}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $9$
B. $2$                    D. $6$

Pembahasan : 

Diketahui $T\left(x\right)=2x^3+3a{x}^2-4bx+5$ dan $T\left(x\right)$ selalu turun di $-4<x<1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x+4)(x-1)& <0& & \\ x^2-x+4x-4& <0& & \\ x^2+3x-4& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $T\left(x\right)$ adalah $T^{\prime }\left(x\right)=6x^2+6ax-4b$.
Grafik fungsi $T\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $T^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cccc}6x^2+6ax-4b& <0& & \\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6& & \\ x^2+ax-\frac{2}{3}b& <0& & (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2+3x-4& <0\\ x^2+ax-\frac{2}{3}b& <0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}a& =3\left(✓\right)\\ \bullet -\frac{2}{3}b& =-4\Rightarrow b=6\left(✓\right)\end{array}$
Jadi, nilai $\frac{b}{a}=\frac{6}{3}=2$
(Jawaban B)

Soal Nomor 6
Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ hanya turun pada interval $-1<x<5$. Nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $-9$                   E. $21$
B. $-15$                  D. $9$

Pembahasan : 

Diketahui $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ dan $f\left(x\right)$ selalu turun di $-1<x<5$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x+1)(x-5)& <0& & \\ x^2-5x+x-5& <0& & \\ x^2-4x-5& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+2ax+b$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cccc}3x^2+2ax+b& <0& & \\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3& & \\ x^2+\frac{2}{3}ax+\frac{1}{3}b& <0& & (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-4x-5& <0\\ x^2+\frac{2}{3}ax+\frac{1}{3}b& <0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}\bullet \frac{2}{3}a& =-4\Rightarrow a=-6\\ \bullet \frac{1}{3}b& =-5\Rightarrow b=-15\end{array}$
Jadi, nilai $a+b=-6+(-15)=-21$
(Jawaban A)

Soal Nomor 7
Grafik fungsi $L\left(x\right)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$ akan selalu naik dalam interval $x<-4$ atau $x>1$. Nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $9$
B. $2$                    D. $6$

Pembahasan : 

Diketahui $L\left(x\right)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$ dan $L\left(x\right)$ selalu naik di $x<-4$ atau $x>1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x+4)(x-1)& >0& & \\ x^2-x+4x-4& >0& & \\ x^2+3x-4& >0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $L\left(x\right)$ adalah $L^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+18bx-24$.
Grafik fungsi $L\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $L^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cccc}3a{x}^2+18bx-24& >0& & \\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6& & \\ \frac{a}{2}{x}^2+3bx-4& >0& & (\cdots 2)\end{array}$
Catatan: Mengapa harus dibagi 6? Karena kita harus membuat konstantanya menjadi $-4$ sesuai dengan pertidaksamaan $\left(1\right)$.
Berikutnya, kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2+3x-4& >0\\ \frac{a}{2}{x}^2+3bx-4& >0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}\bullet \frac{a}{2}& =1\Rightarrow a=2\\ \bullet 3b& =3\Rightarrow b=1\end{array}$
Jadi, nilai $a+b=2+1=3$
(Jawaban C)

Soal Nomor 8
Fungsi $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ dengan $0<x<2\pi$ naik pada interval $\cdots \cdot$
A. $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ atau $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$
B. $\frac{2\pi }{3}<x<\pi$
C. $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$
D. $0<x<\pi$ atau $\pi <x<2\pi$
E. $0<x<2\pi$

Pembahasan : 

Diketahui $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$.
Turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Grafik fungsi $f$ akan naik ketika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)>0$, yaitu $\sin 2x>0$.
Pembuat nol adalah $\{0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \}$.
Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivan dengan uji titik.

Ini berarti, $\sin 2x>0$ terpenuhi ketika $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$. Jadi, $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ akan naik pada interval $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$, seperti yang dipertegas pada sketsa grafik berikut.
(Jawaban C)

DAFTAR PUSTAKA : 

https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/#:~:text=Jika%20f%E2%80%B2(x)%20bertanda,naik%20(disebut%20fungsi%20naik).&text=Jika%20f%E2%80%B2(x)%20bertanda%20netral%2C%20atau%20f%E2%80%B2,(disebut%20juga%20fungsi%20diam).