TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI DENGAN MATRIKS

Soal Transportasi Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi dengan Perhitungan Matriks Untuk Mencari Bayangannya: Titik, Garis, Bidang Datar dan Ruangan

Contoh 1

Hasil translasi titik P1(3, –2) oleh T1 dilanjutkan dengan T2,

$T_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

menghasilkan titik P2 (8, 7). Komponen translasi dari T1 yang sesuai adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\textrm{B.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\textrm{C.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\textrm{D.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\textrm{E.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Pembahasan:

Misalkan:

$T_{1} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

Maka,

$T_{2} \bullet T_{1} = \begin{pmatrix} a + 4 \\ b + 1 \end{pmatrix}$

Perhatikan proses translasi berikut.

Mencari nilai a:

3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:

-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T1 adalah

$T_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$

Jawaban: B

Contoh Soal 2

Persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $\left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)$ adalah… (UAN ’03)

Pembahasan 1:

Diketahui matriksnya:

Rotasi = $\left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right)$

Transformasi = $\left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)$

Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi adalah:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 5&-3\\ 1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = - \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} -1&3 \\ -1&5\end{array} \right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \begin{pmatrix} \frac{x'-3y'}{2} \\ \frac{x'-5y'}{2} \end{pmatrix}$

Kemudian disubstitusikan:

$3x - 4y = 12 \overset{substitusi}{\rightarrow}3 (\frac{x'- 3y'}{2}) - 4(\frac{x'-5y'}{2}) = 12$

$3(x' - 3y') - 4(x'- 5y') = 24$

$3x' - 9y' - 4x' + 20y' =24$

$-x' + 11y' =24$

Hasilnya:

$11y - x =24$

Contoh Soal 3

Pencerminan terhadap sumbu x adalah A, pencerminan terhadap sumbu y adalah B dan rotasi 180o terhadap puasat O adalah H. Tentukan matriks B(A(HA)). (UMPTN ’90)

Pembahasan 2:

Diketahui:

Pencerminan terhadap sumbu $x,A = \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$
Pencerminan terhadap sumbu $y,B = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right)$
Rotasi 180o, $H = \left(\begin{array}{rr} cos 180 &-sin180 \\ sin 180 & cos 180\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$

Maka:

$B(A(HA)) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) [ \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) ]))$

$= \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) )$

$= \left(\begin{array}{rr} -1&0 \\ 0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$

$= \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$

Contoh Soal 4

Oleh matriks $A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right)$ , titik $P(1, 2)$ dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik $P'(2, 3)$ dan $Q'(2,0)$ . Tentukan koordinat titik Q. (SPMB’04)

Pembahasan 3:

Mencari nilai a dari transformasi P:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)\overset{sehingga}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\end{array}\right)\overset{menjadi}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2 + 3a\\ 3 + 2a\end{array}\right)$

$a = 0$

Sehingga matriksnya:

$A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right)$

Mencari titik Q:

$\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) \overset{sehingga}{\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) \overset{disubstitusi} = {\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 2\\0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1\end{array}\right)$

Sehingga:

$Q(1, -1)$

Soal 1 Tentukan bayangan segitiga ABC dengan koordinat titik-titik A(2,3), B (8,3) dan C (8,-2) jika ditranslasikan oleh vektor translasi: T(2,-3). Perhatikan hasil bayangan segitiga yang kalian peroleh: a) Bagaimana bentuk segitiga bayangan tersebut jika dibandingkan dengan segitiga ABC? b) Apakah luas kedua segitiga tersebut sama? Jelaskan dengan perhitungan matematika! Jawaban: Titik A (2,3), Titik B (8,3), Titik C (8,-2) Kemudian semua titik ditranslasikan T(2,-3) Titik A (2+2), (3-3), A'(4,0) Titik B (8=2), (3-3), B'(10,0) Titik C (8+20, (-2,-3), C'(10,-5) a) Bentuk dan ukuran bayangan segitiga sama persis dengan titik segitiga semula. b) Luas kedua segitiga tersebut sama besar karena panjang sisi-sisinya juga sama besar. Perhitungan Matematikanya Luas segitiga = Luas bayangan yaitu L = 1/2.a.t Soal 2 Budi menggambar bangun jajargenjang dengan koordinat titik-titik A(2,3), B(1,1), C(5,1), D(6,3). Kemudian ia refleksikan bangun tersebut terhadap sumbu-Y dan dilanjutkan terhadap sumbu-X. a) Apakah bayangan jajargenjang hasil refleksi akan membentuk bangun yang berbeda? Jelaskan jawabanmu! b) Apakah ukuran bayangan jajargenjang hasil refleksi lebih besar dibandingkan dengan bangun jajargenjang mula-mula? Jelaskan jawabanmu! c) Budi menyatakan bahwa ketika dilakukan refleksi terhadap suatu bangun, maka pada bayangannya, semua posisi titik sudut bangun tersebut akan berubah. Apakah kalian setuju dengan pernyataan Budi tersebut? Jelaskan jawabanmu! Jawaban: Titik A (2,3), Titik B (1,1), Titik C (5,1), Titik D (6,3) direflesikan terhadap sumbu x A (2,3) jadi A' (-2,-3) B (-1,1) jadi B' (-1,-1) C (-5,1) jadi C' (-5,-1) D (-6,3) jadi D'(-6,-3) Titik A (2,3), Titik B (1,1), Titik C (5,1), Titik D (6,3) direflesikan terhadap sumbu Y A (2,3) jadi A' (-2,3) B (1,1) jadi B' (-1,1) C (5,1) jadi C' (-5,1) D (6,3) jadi D'(-6,3) a) Bentuk bayangan jajargenjang sama seperti bangun aslinya karena refleksi cuma mengubah posisi titik-titik bangun, bukan mengubah bentuk bangun. b) Ukuran bayangan jajargenjang tetap sama dengan bangun jajargenjang semula karena refleksi tidak mengubah bentuk ukuran bangun. c) Benar apa yang dikayakan Budi karena refleksi adalah mencerminkan setiap titik bangun geometro terhadap sebuah garis tertentu dan otomatis titik-titik bangun tersebut akan berubah posisi.

Artikel ini telah tayang di Kompas.com dengan judul "Soal dan Jawaban Geometri Translasi dan Refleksi, Belajar di TVRI 11 November 2020 ", Klik untuk baca: https://edukasi.kompas.com/read/2020/05/12/121215271/soal-dan-jawaban-geometri-translasi-dan-refleksi-belajar-di-tvri-11-november?page=all.
Penulis : Irfan Kamil
Editor : Yohanes Enggar Harususilo

Download aplikasi Kompas.com untuk akses berita lebih mudah dan cepat:
Android: https://bit.ly/3g85pkA
iOS: https://apple.co/3hXWJ0L

Contoh 5 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:

Pertama, cari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x.

Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
– x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Perhatikan langkah – langkahnya seperti berikut,

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y' \\ -x' + y' \end{pmatrix}$

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

–3x’ + 2y’ = x’’
– x’ + y’ = y’’

Berikutnya, akan dicari persamaan yang senilai dengan x’ dan y’:

Mencari nilai x’:

Metode eliminasi variabel

Mencari nilai y’:

Metode eliminasi variabel

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan – x’ + 3y’– 11 = 0:

$-x' + 3y' - 11 = 0$

$-\left( 2y'' - x'' \right) + 3\left( 3y'' - x'' \right) - 11 = 0$

$-2y'' + x'' + 9y'' - 3x'' - 11 = 0$

$-2x'' + 7y'' - 11 = 0$

$2x'' - 7y'' + 11 = 0$

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

Contoh 6 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Rotasi

Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah ….
A. 2x – y – 4 = 0
B. x – 2y – 4 = 0
C. x – 2y – 2 = 0
D. 2x – y + 2 = 0
E. 2x – y – 4 = 0 \]

Pembahasan:

Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

x – 2y – 2 = 0
– x’ – 2y’ – 2 = 0

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90o yang berpusat di O(0, 0):

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \; 90^{o} & -sin \; 90^{o} \\ sin \; 90^{o} & cos \; 90^{o} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y' \\ x' \end{pmatrix}$

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan –x’ – 2y’ – 2 = 0, akan diperoleh

– x’ – 2y’ – 2 = 0
– y’’ – 2(–x’’) – 2 = 0
– y’’ + 2x’’ – 2 = 0
2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D

Contoh 7 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Dilatasi

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3b - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3b - 2 \end{pmatrix}$

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

a = 9
3b – 2 = 10
3b = 12
b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

Jawaban: C

Cari Blog Ini

MATEMATIKA