LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

Nama : Gathan Darmawan (13) 

Kelas : XI IPS 3 

Hari/Tanggal : Selasa, 6 April 2021 

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA 

PENJELASAN LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL 

LUAS DAERAH

Misalkan y = fx$x$ berharga positif pada daerah latexa≤x≤b$latexa\le x\le b$ dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = fx$x$ dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

Bila y = fx$x$ berharga negatif pada daerah latexa≤x≤b$latexa\le x\le b$ maka luas daerah yang dibatasi oleh y = fx$x$ dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan latexf(x)≥g(x)$latexf(x)\ge g(x)$ pada daerah latexa≤x≤b$latexa\le x\le b$ maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = fx$x$ dan y = gx$x$ adalah

ISI BENDA PUTAR

Misalkan y = fx$x$ terdefinisi dan integrabel pada daerah latexa≤x≤b$latexa\le x\le b$ , bila daerah yang dibatasi oleh y = fx$x$ dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :

Mencari Volume Menggunakan Integral 

Jika alas sebuah tabung dinyatakan dengan fungsi A(x) dan tinggi dari benda putar tersebut adalah panjang selang dari titik a ke b pada sumbu x atau y maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus

V = ∫^b_a A(x) dx

Untuk mencari volume benda putar yang dihasilkan dari sebuah luasan yang diputar menurut sumbu x dan y dapat menggunakan cara seperti penjelasan berikut:

a. Volume Benda Putar terhadap Sumbu x yang dibatasi 1 Kurva

perhatikan gambar ilustrasi di atas. Luasan di bawah kurva y=f(x) jika diputar dengan sumbu putar dengan titik batas a dan b akan menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi selisih b dan a. Volume benda putar menurut sumbu x tersebut dapat dicari dengan rumus

b. Volume Benda Putar Terhadap Sumbu y Yang Dibatasi 1 Kurva

Untuk volume benda putar dengan sumbu putar adalah sumbu y, soba harus mengubah persamaan grafik yang semula y yang merupakan fungsi dari x menjadi kebalikannya x menjadi fungsi dari y.

y = f(x) menjadi x = f(y).

Misalkan
y = x²
x = √y

Setelah persamaan diubahf kebentuk x = f(y) kemudian dimasukkan ke rumus:

c. Volume Benda Putar Yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu x

Jika ada sebuah luasan yang dibatasi oleh dua kurva yaitu f(x) dan g(x) dimana |f(x)| ≥ |g(x)| dengan interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan rumus:

 

d. Volume Benda Putar Yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu y

Sama prinsipnya dengan yang ada di huruf b, jika ada sebuah luasang yang terbentuk dari dua buah kurva x = f(y) dan x = g(y) dan interval [a.b] yang diputar mengitari sumbu y maka volume yang dihasilkan dapat dicari dengan rumus

MENCARI LUAS MENGGUNAKAN INTEGRAL

Salah satu aplikasi integral tak tentu adalah untuk menghitung luas. Untuk menghitung luas ini kita harus memahami apakah daerah yang dimaksud berada di atas kurva, di bawah kurva, di atas sumbu x ataupun di bawah sumbu x. Untuk itulah maka kita perlu memahami gambar kurva.
Untuk lebih jelasnya perhatikan kasus-kasus berikut

Jika kurva berada di bawah sumbu x maka metodanya adalah

Jika di antara dua kurva maka caranya sebagai berikut

CONTOH SOAL PILIHAN GANDA 

Soal Nomor 1
Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva $x-y^2+1=0$, $-1\le x\le 4$, dan sumbu-$X$, diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $8\frac{1}{2}\pi$                    D. $12\frac{1}{2}\pi$
B. $9\frac{1}{2}\pi$                    E. $13\frac{1}{2}\pi$
C. $11\frac{1}{2}\pi$

Pembahasan

Kurva $x-y^2+1=0$ dapat ditulis menjadi $y^2=x+1$. Bila kita gambar kurvanya yang berupa parabola terbuka ke kanan, beserta garis tegak $x=-1$ dan $x=4$, kita akan memperoleh gambar seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut dan sumbu-$X$ pada selang $[-1,4]$.
Bila diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka kita peroleh
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^4{y}^2\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^4(x+1)\text{d}x\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{x}^2+x]}_{-1}^4\\ & =\pi [\left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2+4)-\left(\frac{1}{2}\right(-1{)}^2+(-1))]\\ & =\pi \left[\right(8+4)-(\frac{1}{2}-1)]\\ & =\pi (12+\frac{1}{2})=12\frac{1}{2}\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $12\frac{1}{2}\pi$ satuan volume.
(Jawaban D)

Soal Nomor 2
Jika daerah yang diarsir pada gambar berikut diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$ satuan volume.

A. $10\frac{2}{3}\pi$                    D. $12\frac{11}{15}\pi$
B. $12\frac{2}{15}\pi$                  E. $14\frac{2}{3}\pi$
C. $12\frac{4}{15}\pi$

Pembahasan

Pertama, kita tentukan dulu titik potong kedua kurva dengan cara menyamakan fungsinya.
$\begin{array}{cc}x& =x\\ y+2& =y^2\\ y^2-y-2& =0\\ (y-2)(y+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $y=-1$ atau $y=2$.
Dari gambar yang diberikan, daerah arsir terbatas pada interval $[0,2]$.
Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^2(x_{\text{atas}}^2-x_{\text{bawah}}^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^2\left(\right(y+2{)}^2-\left(y^2{)}^2\right)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^2\left(\right(y^2+4y+4)-y^4)\text{d}y\\ & =\pi {[\frac{1}{3}{y}^3+2y^2+4y-\frac{1}{5}{y}^5]}_0^2\\ & =\pi \left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3+2(2{)}^2+4(2)-\frac{1}{5}(2{)}^5)\\ & =\pi (\frac{8}{3}+8+8-\frac{32}{5})\\ & =\pi \left(\frac{40+240-96}{15}\right)\\ & =\frac{184}{15}\pi =12\frac{4}{15}\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $12\frac{4}{15}\pi$ satuan volume.
(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Volume benda dari daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$ dan garis $y=2x$ setelah diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $16\pi$                       D. $2\frac{2}{3}\pi$
B. $8\pi$                         E. $2\frac{1}{3}\pi$
C. $3\frac{2}{3}\pi$

Pembahasan

Gambarkan sketsa kurvanya terlebih dahulu seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$.
Daerah tersebut terbatas pada absis titik potong kedua kurva dan dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2& =2x\\ x^2-2x& =0\\ x(x-2)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=0$ atau $x=2$.
Jadi, daerah arsir berada pada selang $[0,2]$.
[diputar terhadap sumbu-$Y$]
$y=x^2\iff x^2=y$
$y=2x\iff x=\frac{y}{2}\iff x^2=\frac{y^2}{4}$
Perhatikan bahwa pada selang tersebut, kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=2x$ (cara melihatnya: semakin ke kanan, artinya semakin ke atas) sehingga volume benda putar yang terbentuk dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_1^2-x_2^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{y^2}{4})\text{d}y\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{12}{y}^3]}_0^4\\ & =\pi \left[\frac{1}{2}\right(4^2-0^2)-\frac{1}{12}(4^3-0^3\left)\right]\\ & =\pi [8-5\frac{1}{3}]=2\frac{2}{3}\end{array}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk sebesar $2\frac{2}{3}$ satuan volume.
(Jawaban D)

Soal Nomor 4
Volume daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2+1$ dan $y=x+3$ jika diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\frac{117}{5}\pi$                        D. $\frac{7}{5}\pi$
B. $\frac{107}{5}\pi$                        E. $\frac{4}{5}\pi$
C. $\frac{105}{5}\pi$

Pembahasan

Titik potong dari kurva $y=x^2+1$ dan $y=x+3$ dapat dicari dengan menyamakan fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2+1& =x+3\\ x^2-x-2& =0\\ (x-2)(x+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=2$ atau $x=-1$.
Sketsakan grafik dari $y=x^2+1$ (parabola) dan $y=x+3$ (garis lurus) beserta arsiran daerah yang dimaksud.
Daerah yang diarsir berada pada selang $[-1,2]$ yang akan menjadi batas integrasi.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+3$ selalu berada di atas kurva $y=x^2+1$.
Volume daerah itu bila diputar mengeliling sumbu-$X$ satu lingkaran penuh kita nyatakan sebagai $V$.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^2(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x+3{)}^2-(x^2+1{)}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x^2+6x+9)-(x^4+2x^2+1\left)\right)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2(-x^4-x^2+6x+8)\text{d}x\\ & =\pi {[-\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+8x]}_{-1}^2\\ & =\pi [-\frac{1}{5}(2^5+(-1{)}^5)-\frac{1}{3}(2^3-(-1{)}^3)+3(2^2+(-1{)}^2)+8(2-(-1\left)\right)]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}-3+9+24]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}+30]\\ & =\frac{117}{5}\pi \end{array}$$Jadi, volumenya adalah $\frac{117}{5}\pi$ satuan volume.
(Jawaban A)

Soal Nomor 5
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi kurva $y=4x-x^2$ dan $y=-2x+8$ diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $32\pi$                 C. $16\pi$               E. $4\pi$    
B. $24\pi$                D. $8\pi$      

Pembahasan

Pertama, buat sketsa kurvanya terlebih dahulu.
Analisis: $y=4x-x^2$
Karena koefisien $x^2$ negatif, maka kurva $y=4x-x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke bawah.
Cek titik potong terhadap sumbu-$X.$
$$\begin{array}{cc}0& =4x-x^2\\ 0& =x(4-x)\end{array}$$Kurva memotong sumbu-$X$ di $(0,0)$ dan $(4,0).$
Absis titik puncak di $x_p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-1)}=2.$ Substitusi, sehingga dihasilkan $y_p=4.$ Jadi, koordinat titik puncak parabola di $(2,4).$
Analisis: $y=-2x+8$
Kurva berupa garis lurus yang melalui titik $(0,8)$ dan $(4,0)$.
Sketsa kedua kurva sebagai berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dan akan diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }.$ Tampak kurva kanan = parabola dan kurva kiri = garis.
Batas integrasi adalah dari $0$ sampai $4.$, ditulis ${\int }_0^4.$
Berikutnya, akan dicari bentuk $x^2.$
Kurva $y=4x-x^2$:
$$\begin{array}{cc}y& =4x-x^2\\ y-4& =4x-x^2-4\\ 4-y& =x^2-4x+4\\ 4-y& =(x-2{)}^2\\ \sqrt{4-y}& =x-2\\ \sqrt{4-y}+2& =x\\ (4-y)+4(4-y)+4& =x^2\\ 8-y+4(4-y)& =x^2\end{array}$$Kurva $y=-2x+8$:
$$\begin{array}{cc}y& =-2x+8\\ y-8& =-2x\\ \frac{8-y}{2}& =x\\ \frac{64-16y+y^2}{4}& =x^2\end{array}$$Dengan demikian, volume benda putar daerah tersebut, yakni sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(y_{\text{kanan}}-y_{\text{kiri}})\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4((8-y+4(4-y\left)\right)-\left(\frac{64-16y+y^2}{4}\right))\text{d}y\\ & =\frac{1}{4}\pi {\int }_0^4\left(\right(32-4y+16\sqrt{4-y})-(64-16y+y^2\left)\right)\\ & =\frac{1}{4}\pi {\int }_0^4(-32+12y-y^2+16\sqrt{4-y})\text{d}y\\ & =\frac{1}{4}\pi {[-32y+6y^2-\frac{1}{3}{y}^3+16\cdot (-\frac{2}{3})(4-y{)}^{3/2}]}_0^4\\ & =\frac{1}{4}\pi [-128+96-\frac{64}{3}+\frac{256}{3}]\\ & =\frac{1}{4}\pi (-32+64)\\ & =8\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah $8\pi$
(Jawaban D)

DAFTAR PUSTAKA

https://ilmuhitung.com/aplikasi-integral-menentukan-luas-dan-volume-suatu-daerah/

http://yunidionisia.blogspot.com/2016/05/mencari-volum-menggunakan-integral-jika.html

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-volume-benda-putar-menggunakan-integral/