METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA

NAMA : GATHAN DARMAWAN (13) 

KELAS : XI IPS 3 

MATEMATIKA 

METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA 

Metode Pembuktian 

Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topik-topik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru. Sebagai contoh, teori fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i 2 = -1. Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana, kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya, untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika. 

1. Bukti langsung

Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p⇒q. Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p⇒q benar dimana diketahui p benar. 

Contoh : Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x 2 bilangan ganjil.

Bukti : . Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya,

x 2 = (2n - 1)2 = 4n 2 + 4n + 1 = 2 (2n 2 + 2) +1 = 2m + 1: m 

Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x 2 ganjil.  

2. Bukti Tak Langsung 

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p⇒q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ¬ q⇒ ¬ p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya. 

Contoh : Buktikan, jika x 2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil. 

Bukti : Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja. Karena x 2 ganjil maka dapat ditulis x = 2m + 1 untuk suatu bilangan asli m. Selanjutnya x = 2m +1 tidak dapat disimpulkan apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah 

”Jika x genap maka x 2 genap”. 

Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x 2 = (2n) 2 = 2 (2n 2 ) = 2m 

                                                                                                                                         m

yang merupakan bilangan genap. 

3. Induksi Matematika 

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika : 

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh :  Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan

                 asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Sehingga P(k+1) benar