SOAL TRIGONOMETRI REMEDIAL PAT

NAMA : GATHAN DARMAWAN (14) 

 KELAS : X IPS 3

 MATEMATIKA 

Perbandingan Trigonometri

Contoh 1 

 Soal : Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ….

 Jawab : 
Segitiga PQR pada soal dapat diilustrasikan seperti berikut.





Contoh Soal Perbandingan Trigonometri

Mencari panjang RQ:
  \[ \overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18} \]

Mencari panjang RP:
  \[ \overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]
Mencari besar sudut R:
  \[ \overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R \]
  \[ (3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R \]
  \[ 3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]
  \[ 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]
  \[ Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0} \]
  \[ Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o} \]
Jadi, besar sudut R adalah 90o.

Contoh 2 
Soal : Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah ….
Jawab : 
Gambar segitiga ABC yang sesuai pada soal adalah





Soal UN Trigonometri

Mencari panjang AC:
  \[ \overrightarrow{AC} = (1-3, 5-1)=(-2,4) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{ 4 + 4 }= \sqrt{8} \]

Mencari panjang AB:
  \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{2^{2} + 1^{2}} =\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
Mencari besar sudut A:
  \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot Cos \; A \]
  \[ (-2,4) \cdot (2, 1) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot Cos \; A \]
  \[ -4 + 4 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]
  \[ 0 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]
  \[ Cos \; A = \frac{\sqrt{40}}{0} \]
  \[ Cos \; A = 0 \rightarrow A = 90^{o} \]
Jadi, besar sudut A adalah 90o.

Contoh 3 

 Soal : Tentukan nilai dari :
sin (-30°)
cos (-135°)
tan (-330°)
Jawab : 
sin (-30°) = -sin 30°
sin (-30°) = -

cos (-135°) = cos 135°  (K.II cos negatif)
cos (-135°) = cos (180° − 45°)
cos (-120°) = -cos 45°
cos (-120°) = -√2

tan (-330°) = -tan 330°  (K.IV tan negatif)
tan (-330°) = -{tan (360° − 30°)}
tan (-300°) = -{-tan 30°}
tan (-300°) = tan 30°
tan (-300°) = √3

Contoh 4 
Soal : Diketahui titik P(3, – 1, 2 ), B(1, -2, – 1), dan C(0, 1, 1) membentuk sudut PBC adalah ….
Jawab : 
Perhatikan gambar sesuai soal di bawah!
Contoh Soal UN Trigonometri
Mencari panjang BP:
  \[ \overrightarrow{BP} = (3 - 1, -1 - (-2), 2 - (-1))=(2, 1, 3) \]
  \[ |BP|= \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14} \]
 
Mencari panjang BC:
  \[ \overrightarrow{BC} = (0 - 1, 1 - (-2), 1- (-1))=(-1, 3, 2) \]
  \[ |BC|= \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2} + 2^{2}} =\sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \]
Mencari besar sudut B:
  \[ \overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BC} = |BP| \cdot |BC| \cdot Cos \; B \]
  \[ (2, 1, 3) \cdot (-1, 3, 2) = \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} \cdot Cos \; B \]
  \[ -2 + 3 + 6 = 14 \cdot Cos \; B \]
  \[ 7 = 14 \cdot Cos \; B \]
  \[ Cos \; B = \frac{7}{14} \]
  \[ Cos \; B = \frac{1}{2} \rightarrow B = 60^{o} \]
Jadi, besar sudut B adalah 60o.

Sudut Berelasi 

Contoh 1 
Soal : Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab : 

Sudut 143° ada pada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°
Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
= -cos 37°
Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)
Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
= cos 37°

Contoh 2
Soal : tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘
Jawab : sin 100° = sin (90° + 10°)
= cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°
Hingga :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1



Contoh 3 

 Soal : Jika sin 30° =½ maka cos 300°=
Jawab : 
cos 300°
= cos (360° - 60°)
= cos 60°
= cos (90° - 30°)
= sin 30°
= 1/2


Contoh 4 

Soal : Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°

Jawab : 
sin 30° = sin (90° − 70°)
= cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°
Apabila diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 30°, 40° dan 53° berada di kuadran I.


Aturan Sinus Cosinus dan Luas Segitiga 

Contoh 1 
Soal : Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB
Jawab : 
soal aturan sin cos tan no 1


Contoh 2 
Soal : Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 √2 cm, sudut B = 45° tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

Jawab : 
soal aturan sin cos tan no 2

Contoh 3 

 Soal :  Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc
Jawab : 
L = ½.ab.ac.Sin a
L = ½.6.8.Sin 150°
L = 12 cm²



Contoh 4 

Soal :  Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Jawab : 

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A = 180o - (B + C)
⇒ A = 180o - (30o + 37o)
⇒ A = 180o - 67o
⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :
⇒ L = a2 sin B sin C
2 sin A
⇒ L = 82 sin 30o sin 37o
2 sin 113o
⇒ L = 64 (0,5) (0,6)
2 (0,92)
⇒ L = 19,2
1,84
⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.





Persamaan Trigonometri 

Contoh 1 
Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
\sin 3x = \cos 2x ; 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}
Jawab : 
Pembahasaan:
\sin 3x = \cos 2x
\sin 3x = sin(90^{\circ} - 2x)
Sehingga,
3x = (90^{\circ} - 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
5x = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ}) (kedua ruas dibagi 5)
x_1 = 18^{\circ} + (k \cdot 72^{\circ})
Atau,
3x = (180 - (90^{\circ} - 2x)) + (k \cdot 360^{\circ})
3x = (90^{\circ} + 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
x_2 = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ})
Himpunannya,
k = 0 \rightarrow x = 18^{\circ} atau x = 90^{\circ}
k = 1 \rightarrow x = 90^{\circ}
K = 2 \rightarrow x = 162^{\circ}
k = 3 \rightarrow x = 234^{\circ}
Himpunan penyelesaiannya adalah (18^{\circ}, 90^{\circ}, 162^{\circ}, 234^{\circ})

Contoh 2 
Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
\sin (x+ \frac{\pi}{4})\cos x = \frac{1}{4}\sqrt{2}; 0 \le x \le 2\pi
Jawab : 
Pembahasan
\sin (x+\frac{\pi}{4})
Dibuat kedalam bentuk
2 \sin a \cos \beta = \sin (a+\beta) + \sin (a-\beta)
Dengan
(2)sin(x+\frac{\pi}{4}) \cos x = (2)(\frac{1}{4}\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}
Menjadikan
\sin((x+\frac{\pi}{4}) + x) + \sin ((x + \frac{\pi}{4}) - x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + \sin (\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{1}{2}\sqrt{2})
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 0
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = \sin 0
Sehingga
(2x + \frac{\pi}{4}) = 0 + k \cdot (2\pi)
2x = -\frac{\pi}{4} + k \cdot (2\pi)
x_1 = -\frac{\pi}{8} + k \cdot (\pi)
atau
(2x + \frac{\pi}{4}) = (\pi - 0) + k \cdot (2\pi)
2x = (\pi - \frac{\pi}{4}) + k \cdot (2\pi)
x_2 = (\frac{3\pi}{8}) + k \cdot (\pi)
Himpunannya,
k = 0 \rightarrow x_2 = \frac{3\pi}{8}
k = 1\rightarrow x_1 = \frac{7\pi}{8}
\rightarrow x_2 = \frac{11\pi}{8}
k = 2 \rightarrow x_1 = \frac{15\pi}{8}
Himpunan penyelesaiannya adalah:
(\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}, \frac{11\pi}{8}, \frac{15\pi}{8})
Contoh 3 

 Soal : Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

 Jawab : 

 soal persamaan trigonometri dan jawaban no 1

Contoh 4 

 Soal : Tentukan penyelesaian persamaan soal pers sin.png dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π
Jawab : 

 jawab pers sin.png

Grafik Trigonometri 

Contoh 1 
Soal : Perhatikan grafik di bawah!






Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….

\[ \textrm{A.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{B.} \; \; \; y = 2 Sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{C.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]
Jawab : 
Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:
  \[ y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c \]
Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):
Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang - \frac{pi}{6} sampai dengan \frac{5 \pi }{6} memuat setengah periode.
  \[ \frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right) \]
  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6} \]
  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6} \]
  \[ k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1 \]
Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).
Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).
Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh \frac{\pi}{6} ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + {\pi}{6}.
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:
  \[ y = 2 \cdot Sin \; 1 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
Jawaban: A
Contoh 2 : 

Soal : Perhatikan gambar di bawah!






Persamaan grafik fungsi pada gambar di atas adalah ….
  A.       y = – 2 Sin(3x + 45)o
  B.       y = – 2 Sin(3x – 45 )o
  C.       y = – 2 Sin(3x – 45 )o
  D.       y = 2 Sin(3x + 15)o
  E.       y = 2 Sin(3x – 45 )o

Jawab : 

Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:
  1. Nilai Amplitudo: A = 2
    2.  
  2. Periode dari 15o sampai 135o adalah 1, sehingga:
      \[ \frac{360^{o}}{k} = 135^{o} - 15^{o} \]
      \[ \frac{360^{o}}{k} = 120^{o} \]
      \[ k = \frac{360^{o}}{120^{o}} = 3 \]
    3.  
  3. Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15o.

Persamaan umum fungsi sinus adalah:
  \[ y = A \cdot Sin \; k \left(x \pm \alpha \right)^{o} \pm C \]
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan gambar pada soal adalah:
  \[ y = 2 \cdot Sin \; 3 \left(x - 15 \right)^{o} \]
  \[ y = 2 \cdot Sin \; \left(3x - 45 \right)^{o} \]
Jawaban: E

Contoh 3 

 Soal : Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum dan periode setiap fungsi berikut ini :
     (a) y = 5.sin (3x – 60o)              (b) y = 3.cos(2x + 45o)
     (c) y = 6.tan2x                           (d) y = 4 + 2cos5x
Jawab : 

Contoh 4 
Soal :  Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 2.cos x dalam interval 0o< x ≤ 360o
Jawab : 













Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Gambar
Nama : Gathan Darmawan (13)  Kelas : XI IPS 3  NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Fungsi naik ,  fungsi turun , dan  fungsi diam (stasioner)  merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut. Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda positif, atau  f ′ ( x ) > 0 f ′ ( x ) > 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik). Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda negatif, atau  f ′ ( x ) < 0 f ′ ( x ) < 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun). Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda netral, atau  f ′ ( x ) = 0 f ′ ( x ) = 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam). Kondisi suatu fungsi  y = f ( x ) y = f ( x )  dalam keadaan naik, turun, atau diam Diberikan fungsi  y = f ( x ) y = f ( x )  d...
Baca selengkapnya

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Gambar
Nama : Gathan Darmawan (13)  Kelas : XI IPS 3  CONTOH SOAL PILIHAN GANDA DAN PEMBAHASANNYA YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA Pengertian Pengertian Integral Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi  kebalikan  atau biasa juga disebut sebagai  invers  dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian di atas, terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Antara lain: integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai   Integral Tak Tentu . Serta yang kedua, integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai   integral tentu . Pengertian  Integral Tak Tentu Integral tak tentu atau yang dalam bahasa Inggris biasa disebut sebagai  Indefinite Integral  maupun ada ju...
Baca selengkapnya