SOAL TRIGONOMETRI REMEDIAL PAT

NAMA : GATHAN DARMAWAN (14) 

 KELAS : X IPS 3

 MATEMATIKA 

Perbandingan Trigonometri

Contoh 1 

 Soal : Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ….

 Jawab : 
Segitiga PQR pada soal dapat diilustrasikan seperti berikut.





Contoh Soal Perbandingan Trigonometri

Mencari panjang RQ:
  \[ \overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18} \]

Mencari panjang RP:
  \[ \overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]
Mencari besar sudut R:
  \[ \overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R \]
  \[ (3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R \]
  \[ 3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]
  \[ 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]
  \[ Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0} \]
  \[ Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o} \]
Jadi, besar sudut R adalah 90o.

Contoh 2 
Soal : Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah ….
Jawab : 
Gambar segitiga ABC yang sesuai pada soal adalah





Soal UN Trigonometri

Mencari panjang AC:
  \[ \overrightarrow{AC} = (1-3, 5-1)=(-2,4) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{ 4 + 4 }= \sqrt{8} \]

Mencari panjang AB:
  \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1) \]
  \[ |RQ|= \sqrt{2^{2} + 1^{2}} =\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
Mencari besar sudut A:
  \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot Cos \; A \]
  \[ (-2,4) \cdot (2, 1) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot Cos \; A \]
  \[ -4 + 4 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]
  \[ 0 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]
  \[ Cos \; A = \frac{\sqrt{40}}{0} \]
  \[ Cos \; A = 0 \rightarrow A = 90^{o} \]
Jadi, besar sudut A adalah 90o.

Contoh 3 

 Soal : Tentukan nilai dari :
sin (-30°)
cos (-135°)
tan (-330°)
Jawab : 
sin (-30°) = -sin 30°
sin (-30°) = -

cos (-135°) = cos 135°  (K.II cos negatif)
cos (-135°) = cos (180° − 45°)
cos (-120°) = -cos 45°
cos (-120°) = -√2

tan (-330°) = -tan 330°  (K.IV tan negatif)
tan (-330°) = -{tan (360° − 30°)}
tan (-300°) = -{-tan 30°}
tan (-300°) = tan 30°
tan (-300°) = √3

Contoh 4 
Soal : Diketahui titik P(3, – 1, 2 ), B(1, -2, – 1), dan C(0, 1, 1) membentuk sudut PBC adalah ….
Jawab : 
Perhatikan gambar sesuai soal di bawah!
Contoh Soal UN Trigonometri
Mencari panjang BP:
  \[ \overrightarrow{BP} = (3 - 1, -1 - (-2), 2 - (-1))=(2, 1, 3) \]
  \[ |BP|= \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14} \]
 
Mencari panjang BC:
  \[ \overrightarrow{BC} = (0 - 1, 1 - (-2), 1- (-1))=(-1, 3, 2) \]
  \[ |BC|= \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2} + 2^{2}} =\sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \]
Mencari besar sudut B:
  \[ \overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BC} = |BP| \cdot |BC| \cdot Cos \; B \]
  \[ (2, 1, 3) \cdot (-1, 3, 2) = \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} \cdot Cos \; B \]
  \[ -2 + 3 + 6 = 14 \cdot Cos \; B \]
  \[ 7 = 14 \cdot Cos \; B \]
  \[ Cos \; B = \frac{7}{14} \]
  \[ Cos \; B = \frac{1}{2} \rightarrow B = 60^{o} \]
Jadi, besar sudut B adalah 60o.

Sudut Berelasi 

Contoh 1 
Soal : Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab : 

Sudut 143° ada pada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°
Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
= -cos 37°
Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)
Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
= cos 37°

Contoh 2
Soal : tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘
Jawab : sin 100° = sin (90° + 10°)
= cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°
Hingga :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1



Contoh 3 

 Soal : Jika sin 30° =½ maka cos 300°=
Jawab : 
cos 300°
= cos (360° - 60°)
= cos 60°
= cos (90° - 30°)
= sin 30°
= 1/2


Contoh 4 

Soal : Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°

Jawab : 
sin 30° = sin (90° − 70°)
= cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°
Apabila diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 30°, 40° dan 53° berada di kuadran I.


Aturan Sinus Cosinus dan Luas Segitiga 

Contoh 1 
Soal : Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB
Jawab : 
soal aturan sin cos tan no 1


Contoh 2 
Soal : Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 √2 cm, sudut B = 45° tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

Jawab : 
soal aturan sin cos tan no 2

Contoh 3 

 Soal :  Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc
Jawab : 
L = ½.ab.ac.Sin a
L = ½.6.8.Sin 150°
L = 12 cm²



Contoh 4 

Soal :  Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Jawab : 

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A = 180o - (B + C)
⇒ A = 180o - (30o + 37o)
⇒ A = 180o - 67o
⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :
⇒ L = a2 sin B sin C
2 sin A
⇒ L = 82 sin 30o sin 37o
2 sin 113o
⇒ L = 64 (0,5) (0,6)
2 (0,92)
⇒ L = 19,2
1,84
⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.





Persamaan Trigonometri 

Contoh 1 
Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
\sin 3x = \cos 2x ; 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}
Jawab : 
Pembahasaan:
\sin 3x = \cos 2x
\sin 3x = sin(90^{\circ} - 2x)
Sehingga,
3x = (90^{\circ} - 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
5x = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ}) (kedua ruas dibagi 5)
x_1 = 18^{\circ} + (k \cdot 72^{\circ})
Atau,
3x = (180 - (90^{\circ} - 2x)) + (k \cdot 360^{\circ})
3x = (90^{\circ} + 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
x_2 = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ})
Himpunannya,
k = 0 \rightarrow x = 18^{\circ} atau x = 90^{\circ}
k = 1 \rightarrow x = 90^{\circ}
K = 2 \rightarrow x = 162^{\circ}
k = 3 \rightarrow x = 234^{\circ}
Himpunan penyelesaiannya adalah (18^{\circ}, 90^{\circ}, 162^{\circ}, 234^{\circ})

Contoh 2 
Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
\sin (x+ \frac{\pi}{4})\cos x = \frac{1}{4}\sqrt{2}; 0 \le x \le 2\pi
Jawab : 
Pembahasan
\sin (x+\frac{\pi}{4})
Dibuat kedalam bentuk
2 \sin a \cos \beta = \sin (a+\beta) + \sin (a-\beta)
Dengan
(2)sin(x+\frac{\pi}{4}) \cos x = (2)(\frac{1}{4}\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}
Menjadikan
\sin((x+\frac{\pi}{4}) + x) + \sin ((x + \frac{\pi}{4}) - x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + \sin (\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{1}{2}\sqrt{2})
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 0
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = \sin 0
Sehingga
(2x + \frac{\pi}{4}) = 0 + k \cdot (2\pi)
2x = -\frac{\pi}{4} + k \cdot (2\pi)
x_1 = -\frac{\pi}{8} + k \cdot (\pi)
atau
(2x + \frac{\pi}{4}) = (\pi - 0) + k \cdot (2\pi)
2x = (\pi - \frac{\pi}{4}) + k \cdot (2\pi)
x_2 = (\frac{3\pi}{8}) + k \cdot (\pi)
Himpunannya,
k = 0 \rightarrow x_2 = \frac{3\pi}{8}
k = 1\rightarrow x_1 = \frac{7\pi}{8}
\rightarrow x_2 = \frac{11\pi}{8}
k = 2 \rightarrow x_1 = \frac{15\pi}{8}
Himpunan penyelesaiannya adalah:
(\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}, \frac{11\pi}{8}, \frac{15\pi}{8})
Contoh 3 

 Soal : Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

 Jawab : 

 soal persamaan trigonometri dan jawaban no 1

Contoh 4 

 Soal : Tentukan penyelesaian persamaan soal pers sin.png dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π
Jawab : 

 jawab pers sin.png

Grafik Trigonometri 

Contoh 1 
Soal : Perhatikan grafik di bawah!






Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….

\[ \textrm{A.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{B.} \; \; \; y = 2 Sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{C.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]
Jawab : 
Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:
  \[ y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c \]
Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):
Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang - \frac{pi}{6} sampai dengan \frac{5 \pi }{6} memuat setengah periode.
  \[ \frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right) \]
  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6} \]
  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6} \]
  \[ k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1 \]
Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).
Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).
Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh \frac{\pi}{6} ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + {\pi}{6}.
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:
  \[ y = 2 \cdot Sin \; 1 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
Jawaban: A
Contoh 2 : 

Soal : Perhatikan gambar di bawah!






Persamaan grafik fungsi pada gambar di atas adalah ….
  A.       y = – 2 Sin(3x + 45)o
  B.       y = – 2 Sin(3x – 45 )o
  C.       y = – 2 Sin(3x – 45 )o
  D.       y = 2 Sin(3x + 15)o
  E.       y = 2 Sin(3x – 45 )o

Jawab : 

Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:
  1. Nilai Amplitudo: A = 2
    2.  
  2. Periode dari 15o sampai 135o adalah 1, sehingga:
      \[ \frac{360^{o}}{k} = 135^{o} - 15^{o} \]
      \[ \frac{360^{o}}{k} = 120^{o} \]
      \[ k = \frac{360^{o}}{120^{o}} = 3 \]
    3.  
  3. Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15o.

Persamaan umum fungsi sinus adalah:
  \[ y = A \cdot Sin \; k \left(x \pm \alpha \right)^{o} \pm C \]
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan gambar pada soal adalah:
  \[ y = 2 \cdot Sin \; 3 \left(x - 15 \right)^{o} \]
  \[ y = 2 \cdot Sin \; \left(3x - 45 \right)^{o} \]
Jawaban: E

Contoh 3 

 Soal : Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum dan periode setiap fungsi berikut ini :
     (a) y = 5.sin (3x – 60o)              (b) y = 3.cos(2x + 45o)
     (c) y = 6.tan2x                           (d) y = 4 + 2cos5x
Jawab : 

Contoh 4 
Soal :  Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 2.cos x dalam interval 0o< x ≤ 360o
Jawab : 













Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Gambar
Nama : Gathan Darmawan (13)  Kelas : XI IPS 3  NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Fungsi naik ,  fungsi turun , dan  fungsi diam (stasioner)  merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut. Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda positif, atau  f ′ ( x ) > 0 f ′ ( x ) > 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik). Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda negatif, atau  f ′ ( x ) < 0 f ′ ( x ) < 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun). Jika  f ′ ( x ) f ′ ( x )  bertanda netral, atau  f ′ ( x ) = 0 f ′ ( x ) = 0 , maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam). Kondisi suatu fungsi  y = f ( x ) y = f ( x )  dalam keadaan naik, turun, atau diam Diberikan fungsi  y = f ( x ) y = f ( x )  d...
Baca selengkapnya